Метод конечных элементов - универсальный способ решения дифференциальных уравнений

В современной науке существует множество подходов для построения количественной математической модели любой системы. И одним из них принято считать метод конечных элементов, в основе которого лежит установление поведения дифференциального (бесконечно малого) ее элемента, базируясь на предполагаемом соотношении между основными элементами, которые способны дать полную характеристику этой системе. Таким образом, данная методика использует при описании системы дифференциальные уравнения.

Теоретические аспекты

Теоретические методы возглавляет метод конечных разностей, который является родоначальником данной серии инструментов исчисления и достаточно широко используется. В методах конечных разностей особую привлекательность составляет их применение к любым дифференциальным уравнениям. Однако из-за громоздкости и трудной программируемости учета граничных условий в задаче существуют некоторые ограничения в применении данных методик. Точность решения зависит от уровня сетки, которой определяются узловые точки. Поэтому при решении задач такого типа зачастую приходится рассматривать системы алгебраических уравнений более высокого порядка.

Метод конечных элементов – подход, достигший очень высокого уровня точности. И сегодня многие ученые отмечают, что на современном этапе отсутствует аналогичный метод, способный дать такие же результаты. Метод конечных элементов имеет широкий диапазон применимости, его эффективность и легкость, с которой учитываются фактические граничные условия, позволяют стать серьезным соперником для любого другого метода. Однако, помимо указанных преимуществ, ему характерны и некоторые недостатки. Например, он представлен схемой дискретизации, что неизбежно влечет за собой использование большого количества элементов. Особенно если речь идет о трехмерных задачах, которые имеют удаленные границы, и в пределах каждой из них по всем неизвестным переменным прослеживается непрерывность.

Альтернативный подход

В качестве альтернативы некоторыми учеными предлагается использование аналитического интегрирования системы дифференциальных уравнений иным способом либо путем введения некоторой аппроксимации. В любом случае, какой бы метод не применялся, в первую очередь должно быть проинтегрировано дифференциальное уравнение. В качестве первого этапа решения задачи необходимо преобразовать дифференциальные уравнения в систему интегральных аналогов. Указанная операция позволяет получить систему уравнений, имеющую значения в пределах конкретной области.

Видео: Помощь репетитора по математике Теория множеств Диаграммы Венна

Еще одним альтернативным подходом является метод граничных элементов, развитие которых построено на идее интегральных уравнений. Указанный метод широко применяется без доказательств единственности в каждом отдельном решении, благодаря чему он становится очень популярным и реализуется с использованием компьютерных технологий.

Область применения

Метод конечных элементов довольно успешно используется в сочетании с иными численными методами в смешанном формулировании. Такое комбинирование позволяет расширить область его применения.