Изучаем маятник – как найти период колебаний математического маятника

Видео: Experiments in Physics. The amplitude and period of oscillation of a spring pendulum

Многообразие колебательных процессов, которые окружают нас, так значительно, что просто удивляешься – а есть что-нибудь, что не колеблется? Вряд ли, ведь даже совершенно неподвижный предмет, скажем камень, который тысячи лет лежит неподвижно, все равно совершает колебательные процессы – он периодически нагревается днем, увеличиваясь, а ночью остывает и уменьшается в размерах. И самый близкий пример – деревья и ветви – неутомимо колеблются всю свою жизнь. Но то – камень, дерево. А если точно так же колеблется от напора ветра 100 этажное здание? Известно, например, что верхушка Останкинской телебашни отклоняется туда-сюда на 5-12 метров, ну чем не маятник высотой 500 м. А насколько увеличивается в размерах подобное сооружение от перепадов температур? Сюда же можно причислить и вибрации корпусов машин и механизмов. Только подумайте, самолет, в котором вы летите, непрерывно колеблется. Не передумали летать? Не стоит, потому что колебания – это сущность окружающего нас мира, от них нельзя избавиться – их можно только учитывать и применять &ldquo-пользы ради&rdquo-.

Как водится, изучение самых сложных областей знания (а простыми они не бывают) начинается со знакомства с простейшими моделями. И нет более простой и понятной для восприятия модели колебательного процесса, чем маятник. Именно здесь, в кабинете физики, мы впервые слышим такую загадочную фразу – &ldquo-период колебаний математического маятника&rdquo-. Маятник – это нить и груз. И что ж это за такой особенный маятник – математический? А все очень просто, для этого маятника предполагается, что его нить не имеет веса, нерастяжима, а материальная точка колеблется под действием сил тяжести. Дело в том, что обычно, рассматривая некий процесс, например, колебания, нельзя абсолютно полностью учесть физические характеристики, например, вес, упругость и т.д. всех участников эксперимента. В то же время влияние некоторых из них на процесс пренебрежительно мало. Например, априори понятно, что вес и упругость нити маятника при определенных условиях не оказывают заметного влияния на период колебаний математического маятника, как ничтожно малые, поэтому их влияние исключают из рассмотрения.

Определение периода колебаний маятника, едва ли не самое простое из известных, звучит так: период - это время, за которое совершается одно полное колебание. Давайте сделаем метку в одной из крайних точек движения груза. Теперь каждый раз, когда точка закрывается, делаем отсчет количества полных колебаний и засекаем время, скажем, 100 колебаний. Определить длительность одного периода совсем несложно. Проделаем этот эксперимент для колеблющегося в одной плоскости маятника в следующих случаях:

- разная начальная амплитуда;

- разная масса груза.

Мы получим потрясающий на первый взгляд результат: во всех случаях период колебаний математического маятника остается неизменным. Иными словами, начальная амплитуда и масса материальной точки на длительность периода влияния не оказывают. Для дальнейшего изложения есть только одно неудобство – т.к. высота груза при движении меняется, то и возвращающая сила по траектории переменная, что неудобно для расчетов. Слегка схитрим - качнем маятник еще и в поперечном направлении - он начнет описывать конусообразную поверхность, период Т его вращения останется прежним, скорость движения по окружности V – постоянная, длина окружности, по которой движется груз S = 2&pi-r, а возвращающая сила направлена по радиусу.

Тогда вычислим период колебаний математического маятника:

Видео: Математический маятник

Т = S/V = 2&pi-r/v

Если длина нити l значительно больше размеров груза (хотя бы в 15-20 раз), и угол наклона нити небольшой (малые амплитуды), то можно считать, что возвращающая сила P равна центростремительной силе F:
Р = F = m*V*V/r

Видео: маятник математ_xvid.avi

С другой стороны, момент возвращающей силы и момент инерции груза равны, и тогда

P * l = r *(m*g), откуда получаем, если учесть, что P = F, следующее равенство: r * m * g/l = m*v*v/r

Совсем нетрудно найти скорость маятника: v = r*&radic-g/l.

А теперь вспоминаем самое первое выражение для периода и подставляем значение скорости:

Т=2&pi-r/ r*&radic-g/l

После тривиальных преобразований формула периода колебаний математического маятника в окончательном виде выглядит так:

Т = 2 &pi- &radic- l/g

Теперь уже ранее экспериментально полученные результаты независимости периода колебаний от массы груза и амплитуды получили свое подтверждение в аналитическом виде и совсем не кажутся такими &ldquo-потрясающими&rdquo-, как говорится, что и требовалось доказать.

Видео: ГИА 2013 реальная математика 28 - колебания маятника #28

Кроме всего прочего, рассматривая последнее выражение для периода колебания математического маятника, можно видеть прекрасную возможность для измерения ускорения силы тяжести. Для этого достаточно собрать некий эталонный маятник в любой точке Земли и провести измерение периода его колебаний. Вот так, совсем неожиданно, простенький и незамысловатый маятник подарил нам великолепную возможность исследования распределения плотности земной коры, вплоть до поиска залежей земных ископаемых. Но это уже совсем другая история.